Ana sayfa Bilim Blasius Denklemi Runge-Kutta Metodu ile Nasıl Çözülür ?

Blasius Denklemi Runge-Kutta Metodu ile Nasıl Çözülür ?

603
PAYLAŞ
Blasius Denklemi Çözümü ve RK Metodu-MATLAB

Blasius Denklemi Matlab ile Nasıl Çözülür ?

Blasius Denklemi Matlab yardımı ile Runge-Kutta methodu kullanılarak çözülmesi. Akışkanlar dinamiğinin en temel uygulamalarından biri laminer sınır tabaka akışlarının efektinin incelenmesidir. H. Blasius ve öğrenvisi Prandtl yaptıkları çalışma ile iki boyutlu, zamana bağlı olmayan, basınç gredyeni olmayan düz bir plaka üzerinde akış laminer akış için sonuç buldular.[1]

Bu koşullar için işlemlerimizi sürdüreceğimiz süreklilik ve momentum denklemleri şu şekilde olacaktır;

 

 

Bununla birlikte iki paralel levha arasındaki akışta, duvardan sıfır uzaklıkta akışkanın hızı sıfır olacaktır. Akış duvardan sonsuz uzunluğa yaklaştıkça maksimum U potansiyel hızına ulaşacaktır. Verilen bu bilgiler doğrultusunda sınır şartlarını şu şekilde yazılır;

 

Blasius yatay levhadan geçen akış için yaklaşık benzerlik çözümü geliştirdi. Boyutsuz akış fonksiyonlarını sundu.

 

Boyutsuzlaştırma işleminin Navier-Stokes denkleminde uygulanması ile sınır tabaka kalınlığı "δ" şu şekilde elde edilir.

Boyutsuzlaştırılmış akış fonksiyonları ve momentum denklemini birleştirilir;

 

Bu işlemden sonra f 'in bağımlı değişken ve ɳ'in bağımsız değişken olduğu Blasius Denklemi elde edilir.

 

 

Blasius denklemi adi diferansiyel denklem şekline getirilerek aşağıdaki gibi yazılır. [2];

Analiz

Blasius denklemi doğrusal olmayan üçüncü derecen diferansiyel denklemdir. Blasius denklemi 4. dereceden Runge-Kutta metodu kullanarak nümerik olarak çözülebilinir.

Runge-Kutta metodu için başlangıç ve sınır şartlarını tanımlanır.

 

Başlangıç koşulları;

Diferansiyel denklemin çözümü için nümerik metodları uygulanılır.

böylece,

RUNGE KUTTA Metodu

En çok kullanılan nümerik çözüm yöntemi 4. dereceden Runge-Kutta metodudur.

Metodun Uygulanması

Blasius denklemi dördüncü derecen tek dereceye dönüştürülebilinen diferansiyel denklemdir. Birinci dereceden diferansiyel denklemin çözümü için 4. kademe Runge-Kutta metodu kullanılır ve çözümü için başlangıç şartlarının uygulanması gerekir. Bu aşamada elimizde bulunan MATLAB kodu çözüm için uygundur.

MATLAB kodunun ilk kullanımı bizlere tahmin değeri olan "k"yı verir ve adım aralığımız h=0,05 olarak alınır.

 

İlk çalıştırma için başlangıç değerlerimiz;

k'yı matris formunda MATLAB kodumuza tanımladık ve Runge-Kutta'nın gerçek kök değeri için ɳ değerini buluruz.

 

MATLAB kodu çalıştırıldığında, ɳ için yakınsamış sonucumuzu elde ederiz.

con1-480x360

 Resim 1: ɳ için yakınsamış sonuç

Denklemin sonucu için kullanılan gerçek başlangıç k değerlerimizi tablo haline gedirdik.

Tablo 1: Runge-Kutta çözümü için k değerleri

h k ɳ
0,00 0,100 0,4477
0,05 0,110 0,4771
0,10 0,120 0,5055
0,15 0,130 0,5332
0,20 0,140 0,5601
0,25 0,150 0,5865
0,30 0,160 0,6122
0,35 0,170 0,6374
0,40 0,180 0,6621
0,45 0,190 0,6864
0,50 0,200 0,7102
0,55 0,210 0,7336
0,60 0,220 0,7567
0,65 0,230 0,7794
0,70 0,240 0,8018
0,75 0,250 0,8238
0,80 0,260 0,8456
0,85 0,270 0,8671
0,90 0,280 0,8883
0,95 0,290 0,9093
1,00 0,300 0,9300
1,05 0,310 0,9505
1,10 0,320 0,9708
1,15 0,330 0,9909
1,20 0,340 1,0107
1,25 0,350 1,0304
1,30 0,360 1,0499
1,35 0,370 1,0692
1,40 0,380 1,0883

Yakınsamış sonuç için başlangıç değerimizi a olarak değiştirdik.

con2-480x360

Resim 2 : u/U vs. ɳ

Tablolaştırılmış değerler,

Tablo 2: Blasius Denkleminin çözümü

  ɳ      
1 0,00 0,00000 0,00000 0,33000
115 5,70 3,95180 0,98916 0,00396
116 5,75 4,00126 0,98935 0,00357
117 5,80 4,05074 0,98952 0,00321
118 5,85 4,10022 0,98967 0,00288
119 5,90 4,14970 0,98981 0,00258
120 5,95 4,19920 0,98993 0,00231
121 6,00 4,24870 0,99004 0,00207
122 6,05 4,29820 0,99014 0,00185
123 6,10 4,34771 0,99022 0,00165
124 6,15 4,39722 0,99030 0,00147
125 6,20 4,44674 0,99037 0,00131
126 6,25 4,49626 0,99043 0,00116
127 6,30 4,54578 0,99049 0,00103
128 6,35 4,59531 0,99054 0,00091
129 6,40 4,64484 0,99058 0,00081
130 6,45 4,69437 0,99062 0,00071
131 6,50 4,74390 0,99065 0,00063
132 6,55 4,79343 0,99068 0,00055
133 6,60 4,84297 0,99071 0,00049
134 6,65 4,89250 0,99073 0,00043
135 6,70 4,94204 0,99075 0,00037
136 6,75 4,99158 0,99077 0,00033
137 6,80 5,04111 0,99078 0,00029
138 6,85 5,09065 0,99080 0,00025
139 6,90 5,14019 0,99081 0,00022
140 6,95 5,18974 0,99082 0,00019
141 7,00 5,23928 0,99083 0,00017
142 7,05 5,28882 0,99083 0,00014
143 7,10 5,33836 0,99084 0,00012
144 7,15 5,38790 0,99085 0,00011
145 7,20 5,43744 0,99085 0,00009
146 7,25 5,48699 0,99086 0,00008
147 7,30 5,53653 0,99086 0,00007
148 7,35 5,58607 0,99086 0,00006
149 7,40 5,63562 0,99087 0,00005
150 7,45 5,68516 0,99087 0,00004
151 7,50 5,73470 0,99087 0,00004
152 7,55 5,78425 0,99087 0,00003
153 7,60 5,83379 0,99087 0,00003
154 7,65 5,88333 0,99088 0,00002
155 7,70 5,93288 0,99088 0,00002
156 7,75 5,98242 0,99088 0,00002
157 7,80 6,03197 0,99088 0,00001
158 7,85 6,08151 0,99088 0,00001
159 7,90 6,13105 0,99088 0,00001
160 7,95 6,18060 0,99088 0,00001

Akış fonksiyonlarımız ve ɳ değerlerimizi bastıracak olursak şu şekilde olurlar,

con3-480x360

Resim 3: Stream Fonksiyonu vs ɳ

Sınır tabaka kalınlığı tanımlandığı bölge Tablo 2'den ɳ=6 olduğu yerde tanımlanır

Böylece,

Kayma gerilmesi  ve sürükleme kuvveti aşağıdaki denklem ile bulunabilinir,,

Birim başına düşen sürükleme kuvveti,

Sürükleme katsayısı CD olarak tanımlanır,

Normal hız bileşeni ise şu şekilde hesaplanır,

ɳ=6'da

 

Referanslar

[1] Jeffery E. Dahan, “Analysis of the Flat Plate Boundary Layer”, Term Project, Rensselaer Polytechnic Institute at Hartford, 1991

[2] https://mat.caminos.upm.es/wiki/Boundary_layer_in_laminar_fluids_(Grupo_1B)

[3]CHAPRA S.C., CANALE R.P, “Numerical Methods for Engineers”, Mc Graw Hill, p.733, New York, 2010

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Boundary_layer_thickness